わ り 算 (除 法) の 不 思 議 ─ 「分 け る」 と 「い く つ あ る か」

わ り 算 (除 法) と は

わ り 算 は、 か け 算 の 逆 の 計 算 で あ る。

12 ÷ 3 = ?
→ こ れ は、 「12 と 3 の 間 に 何 を か け れ ば 12 に な る か」 を 求 め る こ と と 同 じ。
答 え は 4 (な ぜ な ら、 3 × 4 = 12)。

同 じ「12 ÷ 3」 で も、 二 つ の 意 味 が あ る

実 は、 「12 ÷ 3」 と い う 式 は、 全 く 違 う 二 つ の 場 面 で 出 て く る:

場 面 ①: 等 分 除 (と う ぶ ん じ ょ)

「12 個 の あ め を、 3 人 で 同 じ 数 ず つ 分 け る。 一 人 何 個?」

答 え: 一 人 4 個。
こ の 場 合、 答 え の 「単 位」 は 「個 / 人」。 「一 人 あ た り の あ め の 数」 を 求 め て い る。

場 面 ②: 包 含 除 (ほ う が ん じ ょ)

「12 個 の あ め を、 3 個 ず つ 袋 に 入 れ る。 何 袋 で き る?」

答 え: 4 袋。
こ の 場 合、 答 え の 「単 位」 は 「袋」。 「12 個 の 中 に 3 個 ず つ の グ ル ー プ が い く つ 含 ま れ て い る か」 を 求 め て い る。

計 算 は 同 じ、 意 味 は 違 う

両 方 の 場 面 で、 計 算 は 「12 ÷ 3 = 4」。 同 じ 式 で あ る。
だ が、 答 え の 意 味 は 全 く 違 う:

場 面	等 分 除	包 含 除
問 い	「一 人 何 個?」	「何 袋?」
答 え	4 個 / 人	4 袋
単 位	個 / 人	袋 (= 3 個 の グ ル ー プ)
イ メ ー ジ	3 つ の お 皿 に 4 個 ず つ	3 個 入 り の 袋 が 4 つ

図 で 比 べ て み よ う

あ め 12 個 を、 ○ で 表 し て み よ う:

全 体: ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

等 分 除 (3 人 で 分 け る)

人 1: ○ ○ ○ ○
人 2: ○ ○ ○ ○
人 3: ○ ○ ○ ○
→ 一 人 4 個

包 含 除 (3 個 ず つ 袋 詰 め)

袋 1: ○ ○ ○
袋 2: ○ ○ ○
袋 3: ○ ○ ○
袋 4: ○ ○ ○
→ 4 袋

こ の 二 つ は、 同 じ 個 数 12 を、 全 く 違 う 方 法 で 整 理 し て い る の だ。

な ぜ こ の 区 別 が 大 切 か

日 常 で わ り 算 を 使 う と き、 こ の 二 つ の 意 味 を 混 同 す る と、 答 え を 間 違 え る こ と が あ る。

例:

「20 個 の リ ン ゴ を、 5 個 入 り の 箱 で 売 り た い。 必 要 な 箱 は い く つ?」

こ れ は 包 含 除 (20 ÷ 5 = 4)。 答 え は 「4 箱」。

「30 円 の 100 円 玉 を、 5 人 で 同 額 ず つ 分 け た い。 一 人 い く ら?」

こ れ は 等 分 除 (30 ÷ 5 = 6)。 答 え は 「一 人 6 円」。

ど ち ら も わ り 算 だ が、 文 章 を 読 ん で「ど ち ら の わ り 算 か」 を 識 別 す る 力 が 大 切。

「余 り」 が あ る わ り 算

わ り 算 は、 い つ も き っ ち り 割 り 切 れ る と は 限 ら な い:

14 ÷ 3 = ?
→ 答 え は 4 余 り 2 (4 × 3 = 12、 14 − 12 = 2 が 残 る)

こ の 「余 り」 も、 二 つ の 場 面 で 違 う 意 味 を 持 つ:

	等 分 除	包 含 除
例	14 個 を 3 人 で 分 け る	14 個 を 3 個 ず つ 袋 詰 め
答 え	一 人 4 個、 余 り 2 個	4 袋、 余 り 2 個
余 り の 意 味	「全 員 に 配 れ な か っ た 残 り」	「最 後 の 袋 に 詰 め ら れ な か っ た 数」

江 戸 の わ り 算 ─ 『塵 劫 記』 か ら

1627 年 の 吉 田 光 由『塵 劫 記』(本 サ イ ト sansu4/yoshida-jinkoki-kuku で 既 習) に も、 わ り 算 の 問 題 が 多 数 載 っ て い る。

例:

「米 30 俵 を、 5 人 の 武 士 に 分 け 与 え た い。 一 人 何 俵?」

→ 30 ÷ 5 = 6 俵 (等 分 除)

「米 30 俵 を、 1 俵 ず つ 馬 に 積 ん で 運 ぶ。 馬 が 6 頭 い れ ば、 何 回 で 全 部 運 べ る?」

→ 30 ÷ 6 = 5 回 (包 含 除)

江 戸 の 庶 民 も、 こ う し た わ り 算 を 寺 子 屋 で 学 ん で い た。
そ し て『塵 劫 記』 は、「等 分 除」 と 「包 含 除」 の 違 い も、 文 章 で 丁 寧 に 説 明 し て い た。

君 自 身 で わ り 算 を 作 ろ う

身 の 回 り に「わ り 算」 が で き る 場 面 を 見 つ け て み よ う:

• お や つ の チ ョ コ レ ー ト を 兄 弟 で 分 け る
• お 小 遣 い を 1 ヶ 月 (30 日) で 平 等 に 使 う
• 長 い 紙 を 何 等 分 か に 切 る
• 箱 詰 め の お 菓 子 が 何 個 で き る か 数 え る

そ れ ぞ れ、 「等 分 除」 か「包 含 除」 か、 自 分 で 判 断 し て み よ う。

わ り 算 を 「単 な る 計 算」 で は な く、 「世 界 を 整 理 す る 方 法」 と し て 捉 え ら れ る よ う に な れ ば、 君 の 算 数 の 力 は 一 気 に 上 が る。