フ ィ ボ ナ ッ チ 数 列 ─ ウ サ ギ の 繁 殖 か ら 黄 金 比 へ

ウ サ ギ の 繁 殖 か ら 黄 金 比 へ

1. 1202 年、 ピ サ の 数 学 書

時 は 1202 年、 中 世 イ タ リ ア・ピ サ の 商 業 都 市。 一 人 の 32 歳 の 数 学 者 が、 一 冊 の 数 学 書 を 著 し た。

『Liber Abaci』(リ ー ベ ル・ア バ チ、 計 算 の 書)。 著 者 は レ オ ナ ル ド・フ ィ ボ ナ ッ チ (Leonardo Fibonacci, 1170 頃-1250 頃)。 父 が ア ル ジ ェ リ ア で 商 売 を し て い た 関 係 で、 フ ィ ボ ナ ッ チ は 子 ど も の 頃 か ら ア ラ ビ ア 数 学 を 学 ん だ。 そ し て 帰 国 後、 イ タ リ ア に そ の 知 を 紹 介 す る た め に、 こ の 書 を 書 い た。

『Liber Abaci』 の 大 部 分 は、 実 は ア ラ ビ ア 数 字 (0, 1, 2, …, 9) と 位 取 り 記 数 法 の 紹 介 で あ っ た。 そ れ ま で の ヨ ー ロ ッ パ は ロ ー マ 数 字 (I, II, III, IV, V, X, L, C, M …) を 使 っ て お り、 大 き な 数 の 計 算 が 困 難 で あ っ た。 フ ィ ボ ナ ッ チ が 紹 介 し た ア ラ ビ ア 数 字 に よ っ て、 ヨ ー ロ ッ パ の 商 業 と 科 学 が 飛 躍 的 に 進 化 し た。

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2. 第 12 章 ─ ウ サ ギ の 繁 殖 問 題

『Liber Abaci』 の 第 12 章 に、 一 見 単 純 な 練 習 問 題 が あ っ た。

「最 初 に つ が い 1 組 の ウ サ ギ が い る。 ウ サ ギ は 1 か 月 で 大 人 に な り、 大 人 の つ が い は 毎 月 1 組 の つ が い の 子 を 産 む。 ウ サ ギ は 死 な な い。 12 か 月 後、 ウ サ ギ は 何 つ が い に な っ て い る か?」

実 際 に 計 算 し て み よ う。

月	つ が い の 数
0	1
1	1
2	2
3	3
4	5
5	8
6	13
7	21
8	34
9	55
10	89
11	144
12	233

(注: フ ィ ボ ナ ッ チ の 元 の 問 題 は 月 0 が 0 つ が い 開 始 で、 12 か 月 後 144 と し て い る。 出 発 点 を ど う 数 え る か で 結 果 が ず れ る。)

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3. 不 思 議 な 規 則

数 字 を よ く 見 て み よ う。

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …

各 項 を 順 に 計 算 し て み る と:

1 + 1 = 2 1 + 2 = 3 2 + 3 = 5 3 + 5 = 8 5 + 8 = 13 8 + 13 = 21 13 + 21 = 34 …

そ う、 「各 項 = 前 の 2 項 の 和」 で あ る。 こ れ が「フ ィ ボ ナ ッ チ 数 列」 の 規 則 で あ る。

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4. 黄 金 比 と の 不 思 議 な 関 係

さ ら に 不 思 議 な こ と は、 こ の 数 列 の「隣 接 項 の 比」 を 計 算 し て み る と 見 え て く る。

2 / 1 = 2 3 / 2 = 1.5 5 / 3 = 1.667 8 / 5 = 1.6 13 / 8 = 1.625 21 / 13 = 1.615 34 / 21 = 1.619 55 / 34 = 1.6176 89 / 55 = 1.6182 144 / 89 = 1.6180 233 / 144 = 1.6181 …

ど ん ど ん「1.618…」 に 近 づ い て い く!

こ の 値「(1 + √5) / 2 ≒ 1.6180339887…」 こ そ、 古 代 ギ リ シ ア か ら「最 も 美 し い 比」 と さ れ て き た 黄 金 比 (φ、 Golden Ratio) で あ る。

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5. 自 然 界 に 隠 れ た フ ィ ボ ナ ッ チ 数

驚 く べ き は、 こ の 数 列 が 自 然 界 の あ ち こ ち に 出 現 す る こ と で あ る。

• ひ ま わ り の 種 の 螺 旋 ─ 大 き な ひ ま わ り の 中 心 に 並 ぶ 種 を 数 え る と、 時 計 回 り の 螺 旋 が 55 本、 反 時 計 回 り の 螺 旋 が 89 本、 あ る い は 89 と 144 と い う「隣 接 し た フ ィ ボ ナ ッ チ 数 の ペ ア」 に な っ て い る。
• 松 ぼ っ く り の 鱗 ─ 似 た よ う な フ ィ ボ ナ ッ チ 螺 旋 が 現 れ る。
• パ イ ナ ッ プ ル の 表 面 ─ 同 上。
• オ ウ ム ガ イ の 殻 ─ 黄 金 比 で 巻 く 「対 数 螺 旋」 と し て 知 ら れ る。
• 花 び ら の 枚 数 ─ 3, 5, 8, 13 と い う フ ィ ボ ナ ッ チ 数 が 多 い (バ ラ、 ヒ マ ワ リ、 マ ー ガ レ ッ ト、 デ イ ジ ー 等)。

な ぜ こ う な る の か? 数 学 者・生 物 学 者 の 推 測 で は、 「最 も 効 率 的 に 種 や 葉 を 詰 め 込 む 方 法」 が 自 然 と 黄 金 比 に な り、 そ の 結 果 と し て フ ィ ボ ナ ッ チ 数 が 現 れ る、 と さ れ る。

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6. 数 と 自 然 の 詩

フ ィ ボ ナ ッ チ の「ウ サ ギ の 数 列」 は、 1202 年 の 練 習 問 題 か ら 生 ま れ た。 そ の 8 0 0 年 後、 数 学 者・芸 術 家・生 物 学 者・建 築 家 ─ 多 く の 人 々 が こ の 数 列 と 黄 金 比 に 魅 了 さ れ 続 け て い る。

ひ ま わ り の 種 を 数 え る と き、 君 は 1202 年 の イ タ リ ア の 数 学 者 と、 同 じ 自 然 の 数 を 見 て い る の だ。

数 学 と は、 自 然 が 隠 し て い る 詩 を、 言 葉 で 表 現 す る 仕 事 で あ る。 そ の 詩 の 一 つ が、 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … と い う 短 い 数 列 の 中 に、 800 年 残 っ て い る。