デ カ ル ト と 座 標 ─ 一 次 関 数 の 始 ま り

座 標 と は 何 か

平 面 (例 え ば 教 室 の 黒 板 や 紙) の 上 で、 ど こ か の 点 の 位 置 を 表 し た い と し よ う。

中 学 で 習 う 方 法 は こ う だ ─
平 面 に 「x 軸 (横)」 と 「y 軸 (縦)」 を 引 き、 そ の 交 点 を 「原 点 (O)」 と す る。
そ し て、 任 意 の 点 を 「(x, y)」 と い う 二 つ の 数 で 表 す。

例: 「原 点 か ら 右 へ 3、 上 へ 2」 の 点 = (3, 2)

こ の 方 法 を、 中 学 生 の 君 は 当 た り 前 の よ う に 使 う。
だ が、 こ の「座 標」 は、 人 類 が 1637 年 に 一 人 の フ ラ ン ス 人 哲 学 者 か ら 贈 ら れ た 革 命 的 発 明 で あ る。

ル ネ・デ カ ル ト ─ 「我 思 う、 ゆ え に 我 あ り」

そ の フ ラ ン ス 人 哲 学 者 と は ─ ル ネ・デ カ ル ト (René Descartes, 1596–1650)。

彼 は 「我 思 う、 ゆ え に 我 あ り」 (Cogito, ergo sum) と い う 言 葉 で 有 名 な、 近 代 哲 学 の 父 で あ る。
だ が、 彼 は 同 時 に 第 一 級 の 数 学 者 で も あ っ た。

1637 年、 デ カ ル ト は『方 法 序 説』 と い う 哲 学 書 を 出 版 し た。 そ の 付 録 と し て『幾 何 学』 が 付 い て い た。
こ の 『幾 何 学』 の 中 で、 彼 は 「座 標 系」 を 体 系 化 し、 数 学 史 を 永 遠 に 変 え た。

「代 数 と 幾 何 の 統 一」 と い う 大 革 命

デ カ ル ト 以 前、 数 学 は 二 つ の 「別 々 の 世 界」 に 分 か れ て い た。

世 界	扱 う も の	例
代 数 (al-jabr)	式・数 を 扱 う	x + 5 = 10、 x² = 4
幾 何 (geometry)	図 形 を 扱 う	直 線、 円、 三 角 形

古 代 ギ リ シ ア か ら 中 世 ま で、 こ の 二 つ は 「別 の 学 問」 だ っ た。
ピ タ ゴ ラ ス の 定 理 (本 サ イ ト) は 幾 何 学。 ヴ ィ エ ー タ の 文 字 式 (本 サ イ ト chugakusugaku1) は 代 数。 別 の 道 具 を 使 い、 別 の 方 法 で 問 題 を 解 い て い た。

デ カ ル ト は、 座 標 系 を 使 う こ と で、 こ の 二 つ を 同 じ も の と し て 扱 え る よ う に し た:

• 直 線 ─ y = ax + b と い う 一 次 式 で 表 せ る
• 円 ─ x² + y² = r² と い う 二 次 式 で 表 せ る
• 放 物 線 ─ y = x² と い う 二 次 式 で 表 せ る

「図 形 = 式」「式 = 図 形」 ─ こ の 一 元 化 が、 数 学 を 一 気 に 強 力 に し た。

一 次 関 数 y = ax + b

中 2 数 学 で 学 ぶ 「一 次 関 数」 ─ y = ax + b ─ は、 デ カ ル ト の 座 標 系 の 上 で 直 接 「直 線」 と し て 可 視 化 で き る。

具 体 例 で 見 て み よ う:

• y = x ─ 原 点 を 通 り、 右 上 が り の 直 線 (傾 き 1)
• y = 2x ─ 原 点 を 通 り、 急 な 直 線 (傾 き 2)
• y = 2x + 3 ─ y 切 片 が 3、 傾 き が 2 の 直 線
• y = -x + 5 ─ y 切 片 が 5、 右 下 が り の 直 線

こ う し て、 数 式 を 見 れ ば 直 線 の 様 子 が 想 像 で き、 直 線 を 見 れ ば 数 式 が わ か る ─ こ れ が デ カ ル ト の 革 命 で あ る。

デ カ ル ト 以 降 の 数 学

デ カ ル ト の 座 標 系 (1637) が 出 て か ら、 ヨ ー ロ ッ パ の 数 学 は 急 速 に 発 展 し た:

• 1666 ─ ニ ュ ー ト ン、 微 分 積 分 学 を 発 明
• 1684 ─ ラ イ プ ニ ッ ツ、 微 分 積 分 学 を 独 立 発 表
• 1748 ─ オ イ ラ ー『無 限 解 析』
• 19 世 紀 ─ 関 数 論・ベ ク ト ル 解 析・線 形 代 数 の 発 展

こ れ ら す べ て の 礎 が、 デ カ ル ト の 座 標 系 で あ る。

身 の 回 り の 座 標

2026 年 の 君 の 周 り に は、 デ カ ル ト 座 標 が 至 る と こ ろ に 隠 れ て い る:

• GPS ─ 経 度 と 緯 度 で 位 置 を 表 す ─ こ れ は 球 面 座 標 (デ カ ル ト の 拡 張)
• 地 図 ア プ リ ─ 画 面 上 の 場 所 を (x, y) で 管 理
• ゲ ー ム の 画 面 ─ キ ャ ラ ク タ ー の 位 置 を (x, y) で 表 現
• エ ク セ ル の セ ル ─ A1、 B3 と い う「列・行」 は 座 標 と 同 じ

中 2 で 君 が 学 ぶ 一 次 関 数 ─ そ の 背 後 に は、 1637 年 の フ ラ ン ス の 哲 学 者 が 開 い た、 数 学 史 上 最 大 級 の 革 命 が あ る。

「図 形 と 数 式 が 同 じ も の」 ─ こ の 不 思 議 で 美 し い 真 理 を、 こ れ か ら 何 度 も 体 験 し て い く こ と に な る だ ろ う。